Title: Révisions ECG1 - Probabilités et variables aléatoires discrètes

Q: Vrai ou faux
Une variable aléatoire [$]X[/$] prend ses valeurs dans \(\left\lbrace 0,\cdots,n\right\rbrace\). Alors
\[\left((X=k)\right)_{k\in\left\lbrace 0,\cdots,n\right\rbrace}\]
est un système complet d'événements.
A: Vrai, on dit que c'est le système complet d'événements associé à la variable aléatoire \(X\).

Q: Vrai ou faux
Si une variable aléatoire ne prend que des valeurs positives ou nulles, alors son espérance est positive.
A: Vrai, c'est le théorème de positivité de l'espérance.
C'est souvent une façon de vérifier ses calculs : si on trouve une espérance négative à une variable qui ne prend que des valeurs positives, il y a forcément une erreur quelque part.

Q: Méthode
On peut calculer la probabilité d'une réunion d'événements \((A_n)_{n\in\mathbb{N}}\) quand
\(\bullet\) Les événements sont ... grâce à la ... .
On a alors
[$$]P\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)= ...[/$$]
\(\bullet\) Quand les événements sont croissants (\(A_n\subset A_{n+1}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\)).
On a alors
[$$]P\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)= \lim_{n\to+\infty}P(A_n)[/$$]
A: On peut calculer la probabilité d'une réunion d'événements \((A_n)_{n\in\mathbb{N}}\) quand
\(\bullet\) Les événements sont incompatibles grâce à la \(\sigma\)-additivité.
On a alors
[$$]P\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)= \sum_{n\in\mathbb{N}}P(A_n)[/$$]
\(\bullet\) Quand les événements sont croissants (\(A_n\subset A_{n+1}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\)).
On a alors
[$$]P\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)= \lim_{n\to+\infty}P(A_n)[/$$]

Q: Méthode
On peut calculer la probabilité d'une réunion d'événements \((A_n)_{n\in\mathbb{N}}\) quand
\(\bullet\) Les événements sont incompatibles grâce à la \(\sigma\)-additivité.
On a alors
[$$]P\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)= \sum_{n\in\mathbb{N}}P(A_n)[/$$]
\(\bullet\) Quand les événements sont ... .
On a alors
[$$]P\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)= ...[/$$]
A: On peut calculer la probabilité d'une réunion d'événements \((A_n)_{n\in\mathbb{N}}\) quand
\(\bullet\) Les événements sont incompatibles grâce à la \(\sigma\)-additivité.
On a alors
[$$]P\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)= \sum_{n\in\mathbb{N}}P(A_n)[/$$]
\(\bullet\) Quand les événements sont croissants (\(A_n\subset A_{n+1}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\)).
On a alors
[$$]P\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)= \lim_{n\to+\infty}P(A_n)[/$$]

Q: Méthode
On peut calculer une intersection d'une nombre fini d'événements \(A_1,\cdots,A_n\) quand
\(\bullet\) Ils sont ... .
On a alors
\[P(A_1\cap\cdots \cap A_n)=...\]
\(\bullet\) S'ils ne sont pas indépendants, on utilise la formule des probabilités composées
\[P(A_1\cap\cdots \cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n)\]
On peut calculer l'intersection d'une famille infinie d'événements à condition qu'elle soit décroissante \(A_{n+1}\subset A_n\) pour tout \(n\). On a alors
\[P(\bigcap A_n)=\lim_{n\to + \infty}A_n\]
A: On peut calculer une intersection d'une nombre fini d'événements \(A_1,\cdots,A_n\) quand
\(\bullet\) Ils sont indépendants.
On a alors
\[P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\times\cdots \times P(A_n).\]
\(\bullet\) S'ils ne sont pas indépendants, on utilise la formule des probabilités composées
\[P(A_1\cap\cdots \cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n).\]
On peut calculer l'intersection d'une famille infinie d'événements à condition qu'elle soit décroissante \(A_{n+1}\subset A_n\) pour tout \(n\). On a alors
\[P(\bigcap A_n)=\lim_{n\to + \infty}A_n.\]

Q: Méthode
On peut calculer une intersection d'une nombre fini d'événements \(A_1,\cdots,A_n\) quand
\(\bullet\) Ils sont indépendants.
On a alors
\[P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\times\cdots \times P(A_n).\]
\(\bullet\) S'ils ne sont pas indépendants, on utilise la formule ...
\[P(A_1\cap\cdots \cap A_n)=...\]
On peut calculer l'intersection d'une famille infinie d'événements à condition qu'elle soit décroissante \(A_{n+1}\subset A_n\) pour tout \(n\). On a alors
\[P(\bigcap A_n)=\lim_{n\to + \infty}A_n.\]
A: On peut calculer une intersection d'une nombre fini d'événements \(A_1,\cdots,A_n\) quand
\(\bullet\) Ils sont indépendants.
On a alors
\[P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\times\cdots \times P(A_n).\]
\(\bullet\) S'ils ne sont pas indépendants, on utilise la formule des probabilités composées
\[P(A_1\cap\cdots \cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n).\]
On peut calculer l'intersection d'une famille infinie d'événements à condition qu'elle soit décroissante \(A_{n+1}\subset A_n\) pour tout \(n\). On a alors
\[P(\bigcap A_n)=\lim_{n\to + \infty}A_n.\]

Q: Méthode
On peut calculer une intersection d'une nombre fini d'événements \(A_1,\cdots,A_n\) quand
\(\bullet\) Ils sont indépendants.
On a alors
\[P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\times\cdots \times P(A_n).\]
\(\bullet\) S'ils ne sont pas indépendants, on utilise la formule des probabilités composées
\[P(A_1\cap\cdots \cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n).\]
On peut calculer l'intersection d'une famille infinie d'événements à condition qu'elle soit ... . On a alors
\[P(\bigcap A_n)=...\]
A: On peut calculer une intersection d'une nombre fini d'événements \(A_1,\cdots,A_n\) quand
\(\bullet\) Ils sont indépendants.
On a alors
\[P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\times\cdots \times P(A_n).\]
\(\bullet\) S'ils ne sont pas indépendants, on utilise la formule des probabilités composées
\[P(A_1\cap\cdots \cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n).\]
On peut calculer l'intersection d'une famille infinie d'événements à condition qu'elle soit décroissante \(A_{n+1}\subset A_n\) pour tout \(n\). On a alors
\[P(\bigcap A_n)=\lim_{n\to + \infty}A_n.\]

Q: Méthode
Quelle est la seule méthode pour calculer la probabilité d'une intersection d'événements qui ne sont pas indépendants ?
A: On utilise la formule des probabilités conditionnelles
\[P(A\cap B)=P(A)\cap P_A(B).\]

Q: Méthode
On calcule la probabilité d'une intersection de deux événements \(A\) et \(B\) lorsqu'ils ne sont pas indépendants par la formule des probabilités conditionnelles. On a le choix entre
\[P(A\cap B)=P(A)\cap P_A(B)\]
et
\[P(A\cap B)=P(B)\cap P_B(A)\]
Comment choisit-on ?
A: Si les événements ne sont pas indépendants, c'est souvent que la réalisation de l'un dépend de la réalisation de l'autre. Cette situation intervient lorsqu'il y a une succession de deux expériences aléatoires et que la deuxième expérience dépend du résultat de la première (par exemple, on tire des boules dans une urne jusqu'à ce qu'on obtienne une boule rouge, puis on tire à pile ou face le nombre de fois qu'il a fallu d'essais pour obtenir la boule rouge).
Si l'événement \(A\) ne dépend que de la première expérience, tandis que l'événement \(B\) dépend de la deuxième, on choisit d'utiliser la formule
\[P(A\cap B)=P(A)\cap P_A(B)\]
En effet, puisque la deuxième expérience dépend de la première, il est facile de calculer \(P_A(B)\) mais impossible de calculer \(P_B(A)\).

Q: Méthode
On se donne une suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et on souhaite définir une variable aléatoire discrète \(X\) à support \(\mathbb{N}\) telle que
\[P(X=n)=a_n.\]
Que faut-il vérifier sur la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)
A: Il faut que
\(\bullet\) Tous les nombres \(a_n\) soient positifs.
\(\bullet\) La série \(\sum a_n\) soit convergente et que sa somme fasse 1.

Q: Méthode
Comment calculer la loi du minimum de deux variables aléatoires discrètes \(X\) et \(Y\) indépendantes ?
A: On passe par la fonction de répartition. Posons
\[Z=\min (X,Y)\]
On a
[latex]
\begin{eqnarray*}
F_Z(t) & = & P(Z\leqslant t)\\
 & = & P(\min(X,Y)\leqslant t)\\
 & = & 1-P(\min(X,Y)>t)\\
 & = & 1-P((X>t)\cap (Y>t))\\
 & = & 1-P(X>t)P(Y>t)\\
 & = & 1-\left(1-F_X(t)\right)\left(1-F_Y(t)\right)
\end{eqnarray*}
[/latex]

Q: Cours
Citer tout ce que vous savez sur la loi uniforme discrète.
A: La loi uniforme prend 2 paramètres entiers \(a\) et \(b\) avec \(a<b\).
Le support de la loi est l'ensemble \(\{a,\cdots,b\}\) (dans lequel il y a \(b-a+1\) entiers.
La loi est donnée par
\[P(X=k)=\frac{1}{b-a+1}.\]
Son espérance est \(\frac{a+b}{2}\). Dans le cas \(a=1\) et \(b=n\) (le seul à connaître), la variance est \(\frac{n^2-1}{12}\).
Elle modélise une situation d'équiprobabilité.

Q: Cours
Citer tout ce que vous savez sur la loi de Bernoulli
A: La loi de Bernoulli prend un paramètre \(p\in[0,1]\) (bien que rarement 0 ou 1).
Son support est l'ensemble \(\{0,1\}\).
La loi est donnée par
\[P(X=0)=1-p \hspace{0.3cm} P(X=1)=p.\]
Son espérance est \(p\), sa variance est \(p(1-p)\).
Elle modélise une expérience à deux issues (succès/échecs).

Q: Cours
Citer tout ce que vous savez sur la loi binomiale.
A: La loi binomiale prend deux paramètres \(p\in[0,1]\) et \(n\in\mathbb{N}^*\).
Son support est l'ensemble \(\{0,\cdots,n\}\).
La loi est donnée par
\[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.\]
Son espérance est \(np\), sa variance est \(np(1-p)\).
On considère une suite de \(n\) expériences de Bernoulli (succès/échecs) de même probabilité \(p\). La variable \(X\) représente alors le nombre de succès dans cette suite d'expériences.

Q: Cours
Citer tout ce que vous savez sur la loi géométrique.
A: La loi géométrique prend un paramètre \(p\in[0,1]\).
Son support est l'ensemble \(\mathbb{N}^*\).
La loi est donnée par
\[P(X=k)=p(1-p)^{k-1}.\]
Son espérance est \(\frac{1}{p}\), sa variance est \(\frac{1-p}{p^2}\).
Dans une suite (infinie) d'expériences de Bernoulli (succès/échec) indpendantes et de même probabilité de succès \(p\), la loi géométrique représente le temps de première apparition du succès.

Q: Cours
Citer tout ce que vous savez sur la loi de Poisson
A: La loi de Poisson prend un paramètre \(\lambda>0\)
Son support est l'ensemble \(\mathbb{N}\).
La loi est donnée par
\[P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}.\]
Son espérance est \(\lambda\), sa variance est \(\lambda\).
Elle modélise un temps d'attente.

Q: Cours
Qu'est-ce qu'un Système Complet d'Événements ? Qu'est-ce qu'un Système Complet d'Événements associé à une variable aléatoire ?
A: Un SCE est un ensemble d'événements
\[\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\]
vérifiant
\(\bullet\) La réunion des \(A_n\) est l'univers entier :
\[\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n = \Omega.\]
\(\bullet\) Les \(A_n\) sont deux à deux incompatibles : pour \(i\neq j\),
\[A_i\cap A_j=\emptyset.\]
Un cas particulier de SCE est ceux qui sont dits associés à une variable aléatoire discrète. Si \(X\) est une telle variable, de support \(\mathbb{N}\) (par exemple), alors
\[ \{ (X=n) \}_{n\in\mathbb{N}}\]
est un SCE

Q: Cours
Énoncer la formule de probabilités totales
A: On considère un ensemble d'événements
\[\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\]
qui est un système complet d'événements. Soit alors \(B\) un autre événement. On a
\[P(B)=\sum_{n\in\mathbb{N}} P_{A_n}(B)P(A_n).\]

Q: Cours
Énoncer la formule des probabilités composées.
A: On considère une suite finie d'événements
\[A_1,A_2,\cdots,A_n\]
(pas nécessairement indépendants).
Alors
\[P(A_1\cap A_2\cap A_n)\]
\[=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n)\]

Q: Mini exercice
Dans un jeu de 32 cartes, combien y a-t-il de mains de 5 cartes qui contiennent exactement 3 rois ?
Quelle est la probabilité d'obtenir une telle main.
A: Il y en a
\[\binom{4}{3}\binom{28}{2}.\]
En effet, pour fabriquer une main avec exactement 3 rois, il faut prendre 3 rois parmi les 4 puis 2 autres cartes parmi les 28 autres (qui ne sont pas des rois).
Ensuite, la probabilité pour obtenir une telle main est égale au nombre de mains qui contiennent 3 rois divisé par le nombre total de mains :
\[\frac{\binom 43 \binom{28}{2}}{\binom{32}{5}}\]

Q: Mini exercice
Donner un exemple de variable aléatoire discrète qui admet une espérance mais pas de variance
A: C'est un peu délicat. On cherche donc une suite de nombres positifs \(a_k\) qui sont les nombres \(a_k=P(X=k)\) tels que
\(\bullet\) \(\sum_k a_k = 1\) pour avoir une loi de probabilité.
\(\bullet\) \(\sum_k ka_k\) converge pour avoir une espérance et
\(\bullet\) \(\sum_k k^2a_k\) qui diverge.
Pour les deux derniers points, on peut prendre
\[a_k=\frac{1}{k^3}\]
mais il faut ensuite légèrement modifier les \(a_k\) pour avoir aussi le premier point (sans invalider les deux derniers). On modifie donc les \(a_k\) par une constante, ce qui ne change pas la convergence et la divergence des deux séries, mais qui donne une somme des \(a_k\) égale à 1 :
\[a_k=\left(\frac{1}{\sum_k^{+\infty} \frac{1}{k^3}}\right)\frac{1}{k^3}\]

Q: Vrai ou Faux
Si une variable aléatoire admet une espérance, alors elle admet aussi une variance
A: Faux, il y a un contre-exemple dans une autre carte de ce paquet.

Q: Vrai ou Faux
Si une variabla aléatoire admet une variance, alors elle admet aussi une espérance
A: Vrai

Q: Méthode
Comment calculer la loi du maximum de deux variables aléatoires discrètes \(X\) et \(Y\) indépendantes ?
A: On passe par la fonction de répartition. Posons
\[Z=\max (X,Y)\]
On a
[latex]
\begin{eqnarray*}
F_Z(t) & = & P(Z\leqslant t)\\
 & = & P(\max(X,Y)\leqslant t)\\
 & = & P((X\leqslant t)\cap (Y\leqslant t))\\
 & = & P(X\leqslant t)P(Y\leqslant t)\\
 & = & F_X(t)F_Y(t)
\end{eqnarray*}
[/latex]

Q: Programmation
Quelle bibliothèque Python faut-il appeler pour simuler des variables aléatoires
A: La bibliothèque numpy.random, souvent appelée avec l'alias rd.

Q: Programmation
Quelle commande faut-il appeler pour simuler une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p ?
A: import numpy.random as rd
rd.binomial(1,p)
En effet, une Bernoulli de paramètre p n'est rien d'autre qu'une binomiale de paramètre 1 et p.

Q: Programmation
Quelle commande faut-il appeler pour simuler une variable aléatoire binomiale de paramètre n et p ?
A: import numpy.random as rd
rd.binomial(n,p)

Q: Programmation
Quelle commande faut-il appeler pour simuler une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) ?
A: import numpy.random as rd
rd.poisson(lambda)

Q: Programmation
Quelle commande faut-il appeler pour simuler une variable aléatoire géométrique p ?
A: import numpy.random as rd
rd.geometric(p)

Q: Programmation
Quelle commande faut-il appeler pour simuler une variable aléatoire uniforme sur \(\{ 1,\cdots,n\}\) ?
A: import numpy.random as rd
rd.randint(1,n+1)

Q: Programmation
Proposer une méthode pour simuler une loi de Bernoulli en n'utilisant que la fonction rand()
A: import numpy.random as rd
def bernoulli(p) :
     if rd.rand()<p :
          return 1
     else :
          return 0
On utlise dans ce programme le fait que rand()<p est un événement de probabilité p, que l'on identifie au succès de l'expérience de Bernoulli.

Q: Programmation
Proposer une méthode pour simuler une loi binomiale uniquement avec une Bernoulli
A: On suppose donc que l'on dispose d'une fonction bernoulli(p) qui renvoie la simulation d'une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p.
def binomiale(n,p) :
     succès = 0
     for i in range(n) :
          succès = succès + bernoulli(p)
     return succès
Dans ce programme, on utilise le fait qu'une binomiale modélise le nombre de succès dans une répétition de n expériences de Bernoulli identiques et indépendantes.

Q: Programmation
Proposer une méthode pour simuler une loi binomiale uniquement avec une Bernoulli
A: On suppose donc que l'on dispose d'une fonction bernoulli(p) qui renvoie la simulation d'une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p.
def geometric(p) :
     temps = 1
     while bernoulli(p) = = 0 :
          temps = temps + 1
     return temps
Dans ce programme, on utilise le fait qu'une loi géométrique modélise le premier temps de succès dans une répétition infinie d'expériences de Bernoulli identiques et indépendantes.